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2022-2023学年辽宁省高一考试3月联考(23-329A)数学试卷答案

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5．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2cos²$\frac{x}{2}$．
（1）求的最小正周期和在$[\frac{π}{6}，π]$上单调递减区间；
（2）在△A BC中，角 A，B，C的对边分别是a，b，c，且若f（ B）=3，b=3，求a+c的取值范围．

分析（1）化简得f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）+1．由周期=π得ω=1，令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤22x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可解出单调递增区间；
（2）由f （A）=$\sqrt{3}$+1解出A，代入余弦定理得出bc的值，代入面积公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA．

解答解：（1）f（x）=（sinωx+cosωx）²+$\sqrt{3}$（sin²ωx-cos²ωx）
=1+2sinωxcosωx-$\sqrt{3}$（cos²ωx-sin²ωx）
=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx+1=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）+1．
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤22x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵f（A）=2sin（2A-$\frac{π}{3}$）+1=$\sqrt{3}$+1，∴sin（2A-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$或2A-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
∴A=$\frac{π}{3}$或A=$\frac{π}{2}$（舍）．
∵cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{16-2bc-4}{2bc}$，∴bc=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评本题考查了三角函数的恒等变换与性质，解三角形，将三角函数化成复合三角函数是关键．

2022-2023学年辽宁省高一考试3月联考(23-329A)数学

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