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永寿县中学2022-2023学年度高一第二学期第一次月考数学试卷答案

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3．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{2+tcosα}\\{1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ+2sin θ．
（1）写出曲线C的直角坐标方程，并指明C是什么曲线；
（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求证|PQ|为定值．

分析根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=|x²+4x|（x≤0）的图象关于y轴对称的图象，看它与函数f（x）=|log₃x|（x＞0）交点个数即可．

解答解：根据题意：当x＞0时，-x＜0，
则f（-x）=|（-x）²+4（-x）|=|x²-4x|，
则函数y=|x²+4x|（x≤0）的图象关于y轴对称的函数是y=|x²-4x|（x≥0），
由题意知，作出函数y=|x²-4x|（x≥0）的图象及函数f（x）=|log₃x|（x＞0）的图象，
如下图所示：

由图可得两个函数图象共有三个交点
即f（x）的“友好点对”有：3个．
故答案为：3．

点评本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．

永寿县中学2022-2023学年度高一第二学期第一次月考数学

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