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陕西省2023年陈仓区初中学业水平模拟考试（I）数学试卷答案

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12．已知函数$f（x）=x-\frac{1}{x}$；
（1）证明f（x）在区间（0，+∞）为单调递增函数；
（2）求f（x）在[1，2]上的值域．

分析（1）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理可得：ab=c²，结合已知c=2，即可求值．
（2）由已知及三角形面积公式可解得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合C为锐角，可得cosC，利用余弦定理即可得解．

解答解：（1）∵$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{1}{sinC}$，
∴$\frac{cosAsinB+cosBsinA}{sinAsinB}$=$\frac{sin（A+B）}{sinAsinB}$=$\frac{sinC}{sinAsinB}$=$\frac{1}{sinC}$，
∴整理可得：sinAsinB=sin²C，
∴由正弦定理可得：ab=c²，
∵c=2．
∴ab=4．
（2）∵△ABC的面积S=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×4×$sinC，解得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴由C为锐角，可得cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{1}{2}$．
∴由余弦定理可得：4=a²+b²-2×ab×$\frac{1}{2}$，解得：a²+b²=8．

点评本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．

陕西省2023年陈仓区初中学业水平模拟考试（I）数学

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