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［湖南］2023年湖南省高一年级阶段性诊断考试（23-353A）数学试卷答案

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14．已知函数f（x）=x²+2ax+2，a∈R．
（1）若函数F（x）=f[f（x）]与f（x）在x∈R时有相同的值域，求a的取值范围；
（2）对任意x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤6，求实数a的取值范围．

分析（1）根据图象的平移即可得到函数的解析式，
（2）方法一，采取分离参数，转化为$k=\frac{{2|{x-1}|+1}}{x^2}$在x∈[1，3]上有解或者$k=\frac{{2|{x-1}|+1}}{x^2}$在$x∈[{\frac{1}{2}，1}）$上有解，根据函数的性质即可求出k的范围
方法二，采用根的分布，原题等价于kx²-2（x-1）-1=0在x∈[1，3]上有解或者kx²-2（1-x）-1=0在$x∈[{\frac{1}{2}，1}]$上有解，分别根据根与系数的关系即可求出k的范围．

解答解：（1）由图象的平移，h（x）=2|x-1|+1
（2）解：函数y=h（x）的图象与函数g（x）=kx²的图象在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$上至少有一个交点，等价于h（x）-g（x）=0在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$上有解，
即2|x-1|+1-kx²=0在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$上有解，
解法一：用分离参数处理：kx²=2|x-1|+1在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$上有解，$k=\frac{{2|{x-1}|+1}}{x^2}$在$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$上有解，
等价于$k=\frac{{2|{x-1}|+1}}{x^2}$在x∈[1，3]上有解或者$k=\frac{{2|{x-1}|+1}}{x^2}$在$x∈[{\frac{1}{2}，1}）$上有解，
因为$k=\frac{{2（{x-1}）+1}}{x^2}=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}=-{（{\frac{1}{x}-1}）^2}+1，因为\frac{1}{x}∈[{\frac{1}{3}，1}]，所以k∈[{\frac{5}{9}，1}]$$k=\frac{{2（{1-x}）+1}}{x^2}=\frac{3}{x^2}-\frac{2}{x}=3{（{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}）^2}-\frac{1}{3}，因为\frac{1}{x}∈（{1，2}]所以k∈[{1，8}]$
综上，$k∈[{\frac{5}{9}，8}]$．
解法二：用实根分布：
原题等价于kx²-2（x-1）-1=0在x∈[1，3]上有解或者kx²-2（1-x）-1=0在$x∈[{\frac{1}{2}，1}]$上有解，
（1）kx²-2（x-1）-1=0在x∈[1，3]上有解
令g（x）=kx²-2（x-1）-1，k=0时显然无解．
当k＜0时，$g（1）•g（3）≤0⇒\frac{5}{9}≤k≤1$（舍）
当k＞0，$g（1）•g（3）≤0⇒\frac{5}{9}≤k≤1$或者$\left\{{\begin{array}{l}{1≤\frac{1}{k}≤3}\\{△=4-4k≥0⇒k=1}\\{g（1）≥0}\\{g（3）≥0}\end{array}}\right.⇒k=1$
所以$\frac{5}{9}≤k≤1$
（2）kx²-2（1-x）-1=0在$x∈[{\frac{1}{2}，1}]$上有解：
令h（x）=kx²+2x-3，k=0时显然无解．
当k＞0时，$h（1）•h（{\frac{1}{2}}）≤0⇒1≤k≤8$，所以1≤k≤8
当k＜0时，$h（1）•h（{\frac{1}{2}}）≤0⇒1≤k≤8$（舍）或者$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}≤-\frac{1}{k}≤1}\\{△=4+12k≥0⇒k∈∅}\\{h（1）≤0}\\{h（{\frac{1}{2}}）≤0}\end{array}}\right.$
所以1≤k≤8
综上，$k∈[{\frac{5}{9}，8}]$．

点评本题考查了函数解析式的求法和根的分布问题，关键是分类讨论，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题

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