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开卷文化 2023普通高等学校招生全国统一考试 冲刺卷(六)6数学试卷答案

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14．已知两圆C₁：（x-1）²+y²=9．C₂：（x+1）²+y²=1，动圆在圆C₁内部且与圆C₁相内切，与圆C₂向外切
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）已知A（-2，0），过A作斜率分别为k₁，k₂的两条直线交曲线C于D，E两点，且k₁•k₂=2，求证：直线DE过定点，并求出该定点的坐标．

分析根据A，B，D三点共线，得出t+（2+t）=1，求出t的值，化简$\overrightarrow{CD}$=t$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$+（2+t）$\overrightarrow{CB}$，得出$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$，D是AB的中点，即可求出面积比是多少．

解答解：∵A，B，D三点共线，且$\overrightarrow{CD}$=t$\overrightarrow{CA}$+（2+t）$\overrightarrow{CB}$，
∴t+（2+t）=1，
解得t=-$\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{CD}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$），
即$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$；如图所示，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，即BD=AD；
∴△CDB的面积和△CDA的面积之比为1：1．
故答案为：1：1．

点评本题考查了平面向量的应用问题，解题的关键是利用三点共线求出t的值，化简$\overrightarrow{CD}$=t$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$+（2+t）$\overrightarrow{CB}$，得出D是AB的中点，是综合性题目．

开卷文化 2023普通高等学校招生全国统一考试 冲刺卷(六)6数学