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2023届普通高等学校招生全国统一考试冲刺预测·全国卷 YX-E(五)5数学试卷答案

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15．某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f（n）表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额）．
（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？（盈利指的是纯利润总和要大于0）
（Ⅱ）该投资商计划在年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂．问：需多少年后其年平均纯利润才可达到最大，此时共获利多少？

分析（1）点（a_n，2S_n）（n∈N^*）在f（x）的图象上，可得2S_n=${a}_{n}^{2}$+a_n，利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿn，对n分类讨论即可得出．

解答解：（1）∵点（a_n，2S_n）（n∈N^*）在f（x）的图象上．
∴2S_n=${a}_{n}^{2}$+a_n，
∴当n=1时，2a₁=${a}_{1}^{2}+{a}_{1}$，又a₁＞0，解得a₁=1．
当n≥2时，2S_n-1=${a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}$，
相减可得：2a_n=${a}_{n}^{2}$+a_n-（${a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}$），
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵数列{a_n}是正项数列，
∴a_n+a_n-1＞0，
可得a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿn，
∴当n=2k（k∈N^*）时，{b_n}前n项和A_n=A_2k=（-1+2）+（-3+4）+…+[-（n-1）+n]
=1+1+…+1=k=$\frac{n}{2}$．
当n=2k-1时，{b_n}前n项和A_n=${A}_{2k-2}+（-1）^{2k-1}（2k-1）$=$\frac{n-1}{2}$-n=-$\frac{n+1}{2}$，当n=1时也成立．
综上可得：A_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2}，n=2k}\\{-\frac{n+1}{2}，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*）．

点评本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2023届普通高等学校招生全国统一考试冲刺预测·全国卷 YX-E(五)5数学