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名校大联考2023届·普通高中名校联考信息卷(模拟二)数学试卷答案

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5．设椭圆M：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率与双曲线x²-y²=1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．
（1）求椭圆M的方程；
（2）若直线y=$\sqrt{2}$x+m交椭圆M于A，B两点，P（1，$\sqrt{2}$）为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．

分析（1）先分别求出A点、B点的直角坐标，由此能求出|AB|的长．
（2）设C的直角坐标为C（a，b），由直线垂直的性质和两点点距离公式列出方程组求出B点直角坐标，由此能求出C点的极坐标．

解答解：（1）∵在极坐标系内，A（2，$\frac{π}{4}$），
∴x=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，y=2sin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，
∴A点直角坐标为A（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
∵在极坐标系内，B（2，$\frac{5π}{4}$），
∴$x=2cos\frac{5π}{4}$=-$\sqrt{2}$，y=2sin$\frac{5π}{4}$=-$\sqrt{2}$，
∴B点直角坐标B（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{（\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}}$=4．
（2）∵A（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），B（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
∴k_AB=1，∵A，B是等边三角形的两个顶点，
∴k_OC=-1，
设C的直角坐标为C（a，b），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{a}=-1}\\{（a-\sqrt{2}）^{2}+（b-\sqrt{2}）^{2}=（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{6}}\\{b=-\sqrt{6}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{6}}\\{b=\sqrt{6}}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{6}}\\{b=-\sqrt{6}}\end{array}\right.$时，$ρ=\sqrt{6+6}=2\sqrt{3}$，θ=$\frac{7π}{4}$，C点极坐标为：（2$\sqrt{3}$，$\frac{7π}{4}$）
当$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{6}}\\{b=\sqrt{6}}\end{array}\right.$时，$ρ=\sqrt{6+6}=2\sqrt{3}$，$θ=\frac{3π}{4}$，C点的极坐标为：（2$\sqrt{3}$，$\frac{3π}{4}$）．
∴C点的极坐标为：（2$\sqrt{3}$，$\frac{3π}{4}$），（2$\sqrt{3}$，$\frac{7π}{4}$）．

点评本题考查线段长的求法，考查点的极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的互化及直线垂直的性质和两点点距离公式的合理运用．

名校大联考2023届·普通高中名校联考信息卷(模拟二)数学