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2023衡水金卷先享题信息卷 新高考新教材(六)数学试卷答案

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17．已知直线y=kx+1与圆x²+y²=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，求点P的轨迹方程．

分析（1）令t=2^x（1≤t≤4），则g（t）=$\frac{1}{2}$t²-2t-1=$\frac{1}{2}$（t-2）²-3，讨论对称轴t=2与区间[1，4]的关系，可得最值；
（2）由题意可得m＜$\frac{{4}^{x-\frac{1}{2}}-1}{{2}^{x}}$在x∈[0，2]恒成立，令t=2^x（1≤t≤4），即有m＜$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{t}$的最小值，由单调性，可得最小值，进而得到m的范围．

解答解：（1）f（x）=${4}^{x-\frac{1}{2}}$-2•2^x-1（0≤x≤2），
令t=2^x（1≤t≤4），则g（t）=$\frac{1}{2}$t²-2t-1=$\frac{1}{2}$（t-2）²-3，
当t=2即x=1时，取得最小值，且为-3；
当t=4即x=2时，取得最大值，且为-1；
（2）f（x）＞0对任意x∈[0，2]恒成立，即为
m＜$\frac{{4}^{x-\frac{1}{2}}-1}{{2}^{x}}$在x∈[0，2]恒成立，
令t=2^x（1≤t≤4），即有m＜$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{t}$的最小值，
由$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{t}$在[1，4]递增，可得t=1时，取得最小值-$\frac{1}{2}$，
则m＜-$\frac{1}{2}$，即m的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

点评本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和指数函数的单调性，考查二次函数的最值求法，同时考查不等式恒成立问题的解法．属于中档题．

2023衡水金卷先享题信息卷 新高考新教材(六)数学