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2023湖南郴州第三次市质检数学试卷答案

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11．已知函数f（x）=e^x-m，g（x）=ln（x+m），其中m＞0
（1）若P（x₀，y₀）是两个函数图象上的一个公共点，求证：x₀=y₀；
（2）若P（x₀，y₀）是两个函数图象上唯一的公共点，求实数m，x₀的值；
（3）若两个函数图象无公共点，试问存在几条直线与它们都相切？请说明理由．

分析由向量知识和已知可得$\left\{\begin{array}{l}{λ-2μ≤0}\\{λ-μ≥0}\\{2λ-μ≤1}\end{array}\right.$，作出$\left\{\begin{array}{l}{λ-2μ≤0}\\{λ-μ≥0}\\{2λ-μ≤1}\end{array}\right.$所对应的可行域，$\frac{μ}{λ+1}$表示区域内的点和（-1，0）连线的斜率，数形结合可得．

解答解：∵向量$\overrightarrow{m}$=（-1，1），$\overrightarrow{n}$=（2，-1），且$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrowm+μ\overrightarrown$，
∴（x，y）=λ（-1，1）+μ（2，-1）=（-λ+2μ，λ-μ），
∵$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{x+3y≤1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-λ+2μ≥0}\\{λ-μ≥0}\\{（-λ+2μ）+3（λ-μ）≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{λ-2μ≤0}\\{λ-μ≥0}\\{2λ-μ≤1}\end{array}\right.$，
作出$\left\{\begin{array}{l}{λ-2μ≤0}\\{λ-μ≥0}\\{2λ-μ≤1}\end{array}\right.$所对应的可行域（如图阴影），
$\frac{μ}{λ+1}$表示区域内的点和（-1，0）连线的斜率，
当直线经过点O（0，0）时，$\frac{μ}{λ+1}$取最小值0，
当直线经过点A（1，1）时，$\frac{μ}{λ+1}$取最大值$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．

2023湖南郴州第三次市质检数学