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安徽第一卷·2023年安徽中考信息交流试卷（七）数学试卷答案

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14．在公比小于零的等比数列{a_n中，若a₁=2，a₃=8，这数列{a_n}的前三项和S₃=6．

分析（1）求出x关于y的函数，然后将x，y互换位置得到反函数，注意自变量的取值范围；
（2）f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+{a}^{2}-2}{{2}^{x}+1}$=a+$\frac{{a}^{2}-a-2}{{2}^{x}+1}$，由复合函数的单调性可知若f（x）在定义域上单调递增，则a²-a-2＜0．

解答解：（1）a=1时，y=f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∴2^x=$\frac{2}{1-y}-1$，x=log₂（$\frac{2}{1-y}-1$），
∴f^-1（x）=log₂（$\frac{2}{1-x}-1$），（-1＜x＜1）．
（2）f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+{a}^{2}-2}{{2}^{x}+1}$=a+$\frac{{a}^{2}-a-2}{{2}^{x}+1}$，
∵f（x）在定义域上单调递增，
∴a²-a-2＜0，
解得-1＜a＜2．
∴实数a的取值范围是（-1，2）．

点评本题考查了反函数的求法及复合函数的单调性，注意定义域的范围．

安徽第一卷·2023年安徽中考信息交流试卷（七）数学