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山西省2023届九年级中考适应性训练数学试卷答案

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4．已知$f（x）=\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{2x}$，则函数f（x）的定义域为（　　）

A．

[-1，1]

B．

（-1，1）

C．

（-1，0）∪（0，1）

D．

[-1，0）∪（0，1]

分析（1）设不存在实数a，使得f（a）=a，构造函数F（x）=f（x）-x，则F（x）无零点，F（x）＞0或F（x）＜0恒成立，结合条件，引出矛盾，即可得出结论；
（2）转化为e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-2≠（m+1）x，构造函数，利用导数，即可得出结论．

解答（1）证明：设不存在实数a，使得f（a）=a，构造函数F（x）=f（x）-x，则F（x）无零点，
∴F（x）＞0或F（x）＜0恒成立．
不妨设F（x）＞0恒成立，则f（x）＞x恒成立，
∴f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，
∵存在实数x₀，使得f（f（x₀））=x₀，
∴x₀=f（f（x₀））＞f（x₀）＞x₀，矛盾，
故假设不成立，
∴至少存在一个实数a，使得f（a）=a”；
（2）解：由（1）可知，存在一个实数a，使得f（a）=a
显然f（0）=0，则x≠0，F（x）无零点，
即e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-mx-2≠x（x≠0）
∴e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-2≠（m+1）x，
设g（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+x²-2cosx-2，则x＞0，g′（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+2（x+sinx）≥2，
x＜0，g′（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$+2（x+sinx）＞2，
∴m+1≤2，∴m≤1．

点评本题考查反证法的运用，考查导数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

山西省2023届九年级中考适应性训练数学