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衡水金卷先享题2022-2023下学期高三年级一模考试(老高考)数学试卷答案

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10．设a，b，l均为不同直线，α，β均为不同平面，给出下列3个命题：
①若α⊥β，a?β，则a⊥α；
②若α∥β，a?α，b?β，则a⊥b可能成立；
③若a⊥l，b⊥l，则a⊥b不可能成立．
其中，正确的个数为（　　）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

分析由斜率公式得y₁-y₂=k（x₁-x₂），由此利用完全平方式能证明|P₁P₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．

解答证明：∵P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是斜率为k的直线上的两点，
∴$k=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，∴y₁-y₂=k（x₁-x₂），
∴|P₁P₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[k（{x}_{1}-{x}_{2}）]^{2}}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}•|{x}_{1}-{x}_{2}|$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．
∴|P₁P₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$．

点评本题考查两点间距离公式的证明，是基础题，解题时要注意直线斜率公式和完全平方式的合理运用．

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