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湘豫名校联考 2023年4月高三第二次模拟考试数学试卷答案

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17．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{2cos\frac{πx}{3}，x≤2000}\\{{2^{x-2010}}，x＞2000}\end{array}}$，则f（f（2015））=（　　）

A．

$\sqrt{3}$

B．

$-\sqrt{3}$

C．

1

D．

-1

分析（1）设抛物线方程为：y²=2px，代入点P（2，2），即可求抛物线的方程；
（2）从A和B分别作准线的垂线AM，BN，垂足M、N，取AB中点Q，作QH⊥准线l，H为垂足，结合中位线的定义与抛物线的定义可得答案．

解答（1）解：设抛物线方程为：y²=2px，
代入点P（2，2），可得2²=4p，∴p=1，∴y²=2x．
（2）证明：从A和B分别作准线的垂线AM，BN，垂足M、N，
取AB中点Q，作QH⊥准线l，H为垂足，根据抛物线定义，|AM|=|AF|，|BN|=|BF|，|AM|+|BN|=|AB|，
QH是梯形AMNB的中位线，|QH|=$\frac{1}{2}$（|AM|+|BN|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
若以|AB|为直径作圆，则|HQ|是其半径，无论AB位置如何变换，|QH|始终为$\frac{1}{2}$|AB|，且QH⊥准线l，
∴以AB为直径的圆与准线l相切．

点评解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及直线与圆的位置关系的判定．

湘豫名校联考 2023年4月高三第二次模拟考试数学