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陕西省2023年中考原创诊断试题（一）数学试卷答案

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20．函数f（x）=xlnx-$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象与x轴交于不同的两点A（x₁，0），B（x₂，0）．求证：f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≠0．

分析（1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，能求出曲线C的直角坐标方程，消去参数t能求出直线L的普通方程．
（2）曲线C是以C（2，0）为圆心、以2为半径的圆，先求出圆心C（2，0）到直线L：x-$\sqrt{3}y$-5=0的距离，由此利用勾股定理能求出|PQ|．

解答解：（1）∵曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，
∴ρ²=4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4．
∵直线L的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=5+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数得直线L的普通方程为：x-$\sqrt{3}y$-5=0．
（2）∵曲线C：（x-2）²+y²=4是以C（2，0）为圆心、以2为半径的圆，
圆心C（2，0）到直线L：x-$\sqrt{3}y$-5=0的距离：
d=$\frac{|2-5|}{\sqrt{1+3}}$=$\frac{3}{2}$，
又曲线C与直线L相交于P，Q两点，
∴|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{9}{4}}$=$\sqrt{7}$．

点评本题考查曲线C的直角坐标方程与直线L的普通方程的求法，考查弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程、普通方程的互化．

陕西省2023年中考原创诊断试题（一）数学