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江西省宜春市2023届高三年级模拟考试(4月)数学试卷答案

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20．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25及直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4（m∈R）
（1）试判断直线l是否过定点，若过定点，则求出定点，不过，则说明理由；
（2）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；
（3）求圆C截直线l所得的弦长的最小值及此时直线l的方程．

分析求出f（x）的对称轴方程，由题意可得f（x）关于x=2对称，即有b=3a，可得g（x）=log₃（x²-4x+13），由配方和对数函数的单调性，即可求得最小值．

解答解：函数f（x）=（x-1）（ax-b）=ax²-（a+b）x+b，
对称轴为x=$\frac{a+b}{2a}$，
由f（2-x）=f（2+x），可得f（x）的对称轴为x=2，
即有a+b=4a，即b=3a，
则g（x）=log₃（x²-4x+13）=log₃[（x-2）²+9]，
由（x-2）²+9≥9，可得log₃[（x-2）²+9]≥log₃9=2，
当x=2时，g（x）取得最小值2．
故选：B．

点评本题考查函数的对称性和单调性的运用，考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的值域求法和对数函数的单调性，属于中档题．

江西省宜春市2023届高三年级模拟考试(4月)数学