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2023年三好网985核心密卷(三)数学试卷答案

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17．在30°的二面角的一个平面内有一点，他到另一个平面内的距离是8，这点到棱的距离等于16．

分析如图所示，不妨设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），设矩形的一条对角线所在方程为y=kx（k＞0），代入椭圆方程可得：x²，y²，可得矩形的面积S=2|x|×2|y|，再利用基本不等式的性质、椭圆离心率的计算公式即可得出．

解答解：如图所示，不妨设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
设矩形的一条对角线所在方程为y=kx（k＞0），
代入椭圆方程可得：x²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，y²=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴矩形的面积S=2|x|×2|y|=4$\frac{k{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{\frac{{b}^{2}}{k}+{a}^{2}k}$≤$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{2\sqrt{\frac{{b}^{2}}{k}•{a}^{2}k}}$=2ab，当且仅当k=$\frac{b}{a}$时取等号．
∴3b²≤2ab≤4b²，
化为$\frac{1}{2}≤\frac{b}{a}≤\frac{2}{3}$，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$∈$[\frac{\sqrt{5}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$．
故选：B．

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、矩形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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