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达州二诊 达州市2023届毕业年级第二次诊断测试模拟考试数学试卷答案

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12．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（其中t为参数）．现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（Ⅰ） 写出直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ） 已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最大值．

分析（1）由已知中每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据，代入f（x）=ax²+bx+c，构造方程组，解方程组求出参数，可得函数的解析式，进而结合二次函数的图象和性质得到辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格；
（2）若方程f（x）=kx+2m+120恒有两个相异的零点，则对应的△＞0，由此构造关于m的不等式，解不等式可得m的取值范围．

解答解：（1）把点（4，90），（10，51），（36，90）代入方程
得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=90}\\{100a+10b+c=51}\\{a•3{6}^{2}+36b+c=90}\end{array}\right.$，∴a=$\frac{1}{4}$，b=-10，c=126
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x²-10x+126=$\frac{1}{4}$（x-20）²+26
∴当x=20时，y有最小值，y_min=26．
故辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低价格为26元…（6分）
（2）f（x）=$\frac{1}{4}$x²-10x+126，
又∵f（x）=kx+2m+120恒有两个相异的实根，
则$\frac{1}{4}$x²-（k+10）x+6-2m=0恒有两个相异的实根，
∴△₁=[-（k+10）]²-$4×\frac{1}{4}×（6-2m）$＞0恒成立，即k²+20k+2m+94＞0对k∈R恒成立，
∴△₂=20²-4（2m+94）＜0，解得m＞3．
故m的取值范围为（3，+∞）．…（12分）

点评本题考查的知识点是函数的应用，待定系数法求函数的解析式，函数的零点，方程根的存在性及个数的判断，难度中档．

达州二诊 达州市2023届毕业年级第二次诊断测试模拟考试数学