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西南大学附中2022-2023学年度高一下期期中数学试卷答案

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20．函数f（x）=xlnx-$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象与x轴交于不同的两点A（x₁，0），B（x₂，0）．求证：f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≠0．

分析设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可．

解答解：设曲线y=3x²，与过点A（1，3）的切线相切于点P（x₀，3x₀²），
则切线的斜率 k=y′|_x=x0=6x₀，
∴切线方程为y-3x₀²=6x₀（x-x₀），
即 y=6x₀•x-3x₀²
∵点A（1，3）在切线上，
∴3=6x₀-3x₀²
解得x₀=1，
过点A（1，3）的曲线的切线的斜率为：6，
过点A（1，3）的曲线的切线方程：y-3=6（x-1），即6x-y-3=0．

点评本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．

西南大学附中2022-2023学年度高一下期期中数学