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快乐考生2023届双考信息卷·第七辑一模精选卷考向卷(二)数学试卷答案
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10.设椭圆C的两个焦点分别为F1、F2,若C上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2,则C的离心率等于( )
A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{3}{5}$ |
分析可考虑用向量解决,可以作出向量$\overrightarrow{OA}$表示风速,$\overrightarrow{OB}$表示飞机的实际航速,根据向量加法的平行四边形法则便可作出向量$\overrightarrow{OC}$表示没有风时飞机的航速,这样根据余弦定理和正弦定理便可求出向量$\overrightarrow{OC}$的长度及∠BOC的大小,即求出没有风时飞机的航速和航向.
解答解:如图,向量$\overrightarrow{OA}$表示风速,$\overrightarrow{OB}$表示飞机的航速,连接AB,过B作OA的平行线,过O作AB的平行线,两平行线交于C,则:
向量$\overrightarrow{OC}$表示没有风时飞机的航速;
在△OBC中,OB=150,BC=$75(\sqrt{6}-\sqrt{2})$,∠OBC=135°;
∴由余弦定理得,$O{C}^{2}=15{0}^{2}+[75(\sqrt{6}-\sqrt{2})]^{2}-2$$•150•75(\sqrt{6}-\sqrt{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2})=15{0}^{2}•2$;
∴$OC=150\sqrt{2}$;
根据正弦定理,$\frac{150\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{150}{sin∠BOC}$;
∴$sin∠BOC=\frac{1}{2}$;
∴∠BOC=30°;
∴没有风时飞机的航速为$150\sqrt{2}$km/h,航向为北偏西60°.
点评考查向量法解决实际问题,以及余弦定理和正弦定理,已知三角函数值求角,向量加法的平行四边形法则.
快乐考生2023届双考信息卷·第七辑一模精选卷考向卷(二)数学