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广西省2023年春季学期高二期中检测（23-394B）数学试卷答案

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5．已知$0＜x＜\frac{π}{2}，f（x）=\frac{1}{sinx}+\frac{2015}{1-sinx}$的最小值为2016+2$\sqrt{2015}$．

分析（1）f（x）=$4（x-\frac{1}{2}a）^{2}$+2-2a．对$\frac{1}{2}$a与0，2的大小关系分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．
（2）利用讨论的函数的单调性即可得出．

解答解：（1）f（x）=4x²-4ax+a²-2a+2=$4（x-\frac{1}{2}a）^{2}$+2-2a．
①当$\frac{1}{2}a≤$0时，函数f（x）在区间[0，2]上单调递增，∴g（a）=f（2）=a²-10a+18；
②当$\frac{1}{2}a≥2$时，函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，∴g（a）=f（0）=a²-2a+2；
③当$0＜\frac{1}{2}a＜2$时，函数f（x）在区间[0，$\frac{1}{2}$a）上单调递减，在区间$（\frac{1}{2}a，2]$上单调递增，∴g（a）=max{f（0），f（2）}．
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-10a+18，a≤0}\\{{a}^{2}-2a+2，a≥4}\\{max\{f（0），f（2）\}，0＜a＜4}\end{array}\right.$．
（2）由（1）可得：
①当$\frac{1}{2}a≤$0时，函数f（x）在区间[0，2]上单调递增，∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，f（0）=a²-2a+2=3，解得a=1-$\sqrt{2}$；
②当$\frac{1}{2}a≥2$时，函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，f（2）=a²-10a+18=3，解得a=5+$\sqrt{10}$；
③当$0＜\frac{1}{2}a＜2$时，函数f（x）在区间[0，$\frac{1}{2}$a）上单调递减，在区间$（\frac{1}{2}a，2]$上单调递增，∴当x=$\frac{1}{2}a$时，函数f（x）取得最小值，f（$\frac{1}{2}a$）=2-2a=3，解得a=-$\frac{1}{2}$，舍去．
综上可得a=1-$\sqrt{2}$；或5+$\sqrt{10}$．

点评本题考查了分类讨论、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

广西省2023年春季学期高二期中检测（23-394B）数学