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河南省焦作市普通高中2022-2023学年（下）高一年级期中考试数学试卷答案

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7．在极坐标系中，直线l的方程为ρcos（θ$+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系（两坐标系取相同的长度单位），曲线C：x²+y²=4在坐标伸缩变换ρ：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，作用下变为曲线C₁．
（1）求直线l的倾斜角α和曲线C₁的方程；
（2）判断直线l和曲线C₁是否相交．若相交，求出弦长；若不相交，说明理由．

分析由求导公式和法则求出f′（x），由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a的取值范围．

解答解：由题意得，f′（x）=$\frac{1}{x}+a-\frac{1}{{x}^{2}}$，
因为$f（x）=lnx+ax+\frac{1}{x}$在[1，+∞）上是单调函数，
所以f′（x）≥0或f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
①当f′（x）≥0时，则$\frac{1}{x}+a-\frac{1}{{x}^{2}}≥0$在[1，+∞）上恒成立，
即a≥$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$，设g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$=$（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，
因为x∈[1，+∞），所以$\frac{1}{x}$∈（0，1]，
当$\frac{1}{x}$=1时，g（x）取到最大值是：0，
所以a≥0，
②当f′（x）≤0时，则$\frac{1}{x}+a-\frac{1}{{x}^{2}}≤0$在[1，+∞）上恒成立，
即a≤$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$，设g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}$=$（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，
因为x∈[1，+∞），所以$\frac{1}{x}$∈（0，1]，
当$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{2}$时，g（x）取到最大值是：$-\frac{1}{4}$，
所以a≤$-\frac{1}{4}$，
综上可得，a≤$-\frac{1}{4}$或a≥0，
所以数a的取值范围是（-∞，$-\frac{1}{4}$]∪[0，+∞），
故选：B．

点评本题查求导公式和法则，导数与函数单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查分离常数法，整体思想、分类讨论思想，属于中档题．

河南省焦作市普通高中2022-2023学年（下）高一年级期中考试数学