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世纪金榜 2023年高考密破考情卷 新高考版(五)数学试卷答案

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4．已知曲线C₁的极坐标方程p²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，曲线C₁经过坐标变换$\left\{{\begin{array}{l}{x=2x’}\\{y=\sqrt{3}y’}\end{array}}$得到曲线C₂，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}$（t为参数，t∈R）
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P为曲线C₂上的点，求点P到直线l的距离的最大值．

分析（1）由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数图象的对称中心和对称轴．
（2）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答解：（1）对于函数f（x）=-2sin（3x+$\frac{π}{2}$）=sin（3x+$\frac{3π}{2}$）=sin（3x-$\frac{π}{2}$），
令3x-$\frac{π}{2}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$，可得函数的图象的对称中心为（$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．
令3x-$\frac{π}{2}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{3}$，可得函数的图象的对称轴为x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
（2）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{π}{2}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
故f（x）=-2sin（3x+$\frac{π}{2}$）的单调减区间为[$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{3}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（3）把函数y=cosx=sin（x+$\frac{π}{2}$）的图象向右平移π个单位，可得y=sin（x-$\frac{π}{2}$）的图象；
再把所得图象上点的横坐标变为原来的$\frac{1}{3}$倍，可得y=sin（3x-$\frac{π}{2}$）．

点评本题主要考查诱导公式，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．

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