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衡水金卷先享题信息卷2023答案 新教材XA五数学试卷答案

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8．设函数$f（x）=\frac{x^2}{2}-klnx$，k∈R
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：当k＞0时，若f（x）存在零点，则f（x）在区间$（{1，\sqrt{e}}]$上仅有一个零点．

分析由已知推导出f（x）+f（-x）=6，由f（lg2）+f（lg$\frac{1}{2}$）=f（lg2）+f（-lg2），能求出结果．

解答解：∵f（x）=ln（$\sqrt{1+4{x}^{2}}$-2x）+3，
∴f（x）+f（-x）=ln（$\sqrt{1+4{x}^{2}}$-2x）+3+ln（$\sqrt{1+4{x}^{2}}$+2x）+3
=ln[（$\sqrt{1+4{x}^{2}}-2x$）•（$\sqrt{1+4{x}^{2}}+2x$）+6，
=ln1+6=6，
∴f（lg2）+f（lg$\frac{1}{2}$）=f（lg2）+f（-lg2）=6．
故选：D．

点评本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质和对数运算法则的合理运用．

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