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金考卷2023年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 押题卷(六)数学试卷答案

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3．底面是正三角形且侧棱和底面垂直的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为3，底面边长为1，沿侧面从A点经过棱BB₁上的M点再经过棱CC₁上的N点到A₁点．当所经路径AM-MN-NA₁最短时，AM与A₁N所成的角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

分析（1）f（x）为奇函数，利用f（0）=0，解得b，并且验证即可得出．．
（2）由（1）可得：f（x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{{2}^{-x+1}+2}$，函数f（x）为增函数．任取实数x₁＜x₂，只要证明f（x₁）-f（x₂）＜0即可．
（3）f（x）为奇函数，由不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0化为f（t²-2t）＜f（k-2t²），再利用单调性即可得出．

解答解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0，f（0）=$\frac{b-1}{4}$=0，解得b=1．经过验证满足条件．
（2）由（1）可得：f（x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{{2}^{-x+1}+2}$，函数f（x）为增函数．
证明：任取实数x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-{2}^{-{x}_{1}}}{{2}^{-{x}_{1}+1}+2}$-$\frac{1-{2}^{-{x}_{2}}}{{2}^{-{x}_{2}+1}+2}$=$\frac{4（{2}^{-{x}_{2}}-{2}^{-{x}_{1}}）}{（{2}^{-{x}_{1}+1}+2）（{2}^{-{x}_{2}+1}+2）}$，
∵x₁＜x₂，∴-x₂＜-x₁，${2}^{-{x}_{2}}$＜${2}^{-{x}_{1}}$，
∴${2}^{-{x}_{2}}$-${2}^{-{x}_{1}}$＜0，
又$（{2}^{-{x}_{1}+1}+2）（{2}^{-{x}_{2}+1}+2）$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函数f（x）为增函数．
（3）∵f（x）为奇函数，由不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0化为f（t²-2t）＜-f（2t²-k），即f（t²-2t）＜f（k-2t²），
又∵f（t）为增函数，t²-2t＜k-2t²，∴3t²-2t＜k．
当t=-$\frac{1}{3}$时，3t²-2t有最小值-$\frac{1}{3}$，∴k$＞-\frac{1}{3}$．

点评本题考查了不等式的性质、函数的单调性与奇偶性、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

金考卷2023年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 押题卷(六)数学