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百师联盟2023届高三二轮复习联考(二)全国卷数学试卷答案

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1．过点（0，1）作曲线L：y=lnx的切线，切点为A．又L与x轴交于B点，区城D由L、x轴与直线AB围成，求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

分析（Ⅰ）求出函数的导数，求出极值点$x=-\frac{1}{k}（{k≠0}）$，通过k＞0，k＜0，分别求出函数的单调增区间以及单调减区间即可．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）判断函数的单调性，求出k的取值范围即可．

解答解：（Ⅰ）由f′（x）=（1+kx）e^kx=0，得$x=-\frac{1}{k}（{k≠0}）$，
若k＞0，则当$x∈（{-∞，-\frac{1}{k}}）$时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当$x∈（{-\frac{1}{k}，+∞，}）$时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
若k＜0，则当$x∈（{-∞，-\frac{1}{k}}）$时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当$x∈（{-\frac{1}{k}，+∞，}）$时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若k＞0，则当且仅当$-\frac{1}{k}≤-1$，
即0＜k≤1时，函数f（x）在（-1，1）内单调递增；
若k＜0，则当且仅当$-\frac{1}{k}≥1$，即k≥-1时，函数f（x）在（-1，1）内单调递增，
综上可知，函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增时，k的取值范围是[-1，0）∪（0，1]．

点评本题考查函数的单调性以及函数导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．

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