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2023衡水金卷先享题压轴卷 新教材A(一)数学试卷答案

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6．f（x）=e^x-$\frac{a}{2}$x²-x-1（其中a∈R，e为自然数的底数），g（x）=f′（x）为f（x）的导函数．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）在R上存在最小值，且最小值为0，求实数a的值；
（3）求证：当x≥0时，e^x-x-1≥$\frac{1}{2}$xsinx．

分析（1）联立方程组，求出直线l₁：x-2y+4=0和l₂：x+y-2=0的交点，再求出直线l的斜率，可得直线l的方程；
（2）设圆方程为标准方程，求出圆心与半径，即可求得圆的方程．

解答解：（1）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得x=0，y=2，
∴直线l₁：x-2y+4=0和l₂：x+y-2=0的交点P（0，2），
又∵直线5x+3y-6=0的斜率为-$\frac{5}{3}$，∴直线l的斜率为$\frac{3}{5}$，
∴直线l的方程为y-2=$\frac{3}{5}$（x-0），化为一般式可得3x-5y+10=0．
（2）设圆方程为标准方程（x-a）²+（y-b）²=r²，
∴a²+（b-2）²=（a-3）²+（b-1）²=$\frac{|a-2b+4|}{\sqrt{5}}$=r²，
∴a=1，b=0，
∴圆的方程为（x-1）²+y²=5．

点评本题考查直线、圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

2023衡水金卷先享题压轴卷 新教材A(一)数学