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学海园大联考 2023届高三信息卷(一)数学 考卷答案

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试题答案

学海园大联考 2023届高三信息卷(一)数学试卷答案

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17.已知等差数列{an}中,a1=1,d=3,当an=19时,则n=(  )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

分析设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线方程与椭圆方程联立化为:(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,△>0.由OP⊥OQ,可得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0,把根与系数的关系可得:a2+b2=2a2b2.由椭圆的离心率e满足$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$,化为$\frac{1}{3}≤$$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$$≤\frac{1}{2}$,即可得出.

解答解:设P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$,化为:(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,
△=4a4-4(a2+b2)(a2-a2b2)>0,化为:a2+b2>1.
x1+x2=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$,x1x2=$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$.
∵OP⊥OQ,
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-1)(x2-1)=2x1x2-(x1+x2)+1=0,
∴2×$\frac{{a}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$+1=0.
化为a2+b2=2a2b2
∴b2=$\frac{{a}^{2}}{2{a}^{2}-1}$.
∵椭圆的离心率e满足$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴$\frac{1}{3}≤{e}^{2}$$≤\frac{1}{2}$,
∴$\frac{1}{3}≤$$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$$≤\frac{1}{2}$,
∴$\frac{1}{3}$≤1-$\frac{1}{2{a}^{2}-1}$≤$\frac{1}{2}$,
化为5≤4a2≤6.
解得:$\sqrt{5}$≤2a≤$\sqrt{6}$.满足△>0.
∴椭圆长轴的取值范围是[$\sqrt{5}$,$\sqrt{6}$].
故选:D.

点评本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

学海园大联考 2023届高三信息卷(一)数学

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