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2022~2023学年高一下学期期中联合考试(23-411A)数学试卷答案

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19．设n是一个正整数，定义n个实数a₁，a₂，…，a_n的算术平均值为$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$．设集合 M={1，2，3，…，2015}，对 M的任一非空子集 Z，令α_z表示 Z中最大数与最小数之和，那么所有这样的α_z的算术平均值为2016．

分析先根据函数f（x）为R上的奇函数得f（0）=0，再得出函数是以4为周期的函数，由此可得f（1）=f（2）=f（3）=f（4）=0，共有9个零点．

解答解：因为f（x）是定义域为R的奇函数，
所以f（0）=0，即图象过原点，
所以有零点x=0，
又因为f（x+4）=f（x）+f（2），
令x=-2得，
f（2）=f（-2）+f（2），
所以，f（-2）=0，
而f（-2）=f（-2+4）=f（2）=0，
所以有零点x=±2，如右图，
且f（x+4）=f（x），函数是以4为周期的函数，
当x∈（0，2）时，f（x）=lnx，单调递增，有零点x=1，
所以，f（3）=f（-1）=-f（1）=0，f（4）=f（0）=0，
因此，当x∈（0，4]时，函数的零点依次为：1，2，3，4，
再根据对称性，函数共有零点9个．
故答案为：9．

点评本题主要考查了函数零点的判断，涉及分段函数的奇偶性，单调性，周期性及其图象，属于中档题．

2022~2023学年高一下学期期中联合考试(23-411A)数学