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倍角公式（三角函数公式）

yun 发布: 2023-06-02 07:15:38 评论关闭

倍角公式三角函数公式

倍角公式，是三角函数中非常实用的一类公式。就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式。

中文名

倍角公式

外文名

Double Angle formula

公式分类

二倍角公式、和差公式

分类

二倍角，和差，三倍角

概念

倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式。

公式分类

11

和差公式

1

三倍角公式

11

半角公式

11

万能公式

1

证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可。[2]

积化和差公式

11

和差化积公式

1

其他

1

四倍角公式

sin4A=-4*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1））

cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4）

tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）

五倍角公式

sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA

cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA

tan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）

六倍角公式

sin6A=2*(cosA*sinA*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*(-3+4*sinA^2））

cos6A=((-1+2*cosA^2）*（16*cosA^4-16*cosA^2+1））

tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6）

七倍角公式

sin7A=-(sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））

cos7A=(cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））

tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）

八倍角公式

sin8A=-8*(cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1）

cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）

tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）

九倍角公式

sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））

cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））

tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）

十倍角公式

sin10A=2*(cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4））

cos10A=((-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））

tan10A=-2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）

N倍角公式

根据棣美弗定理，（cosθ+ i sinθ）^n = cos(nθ）+ i sin(nθ）

为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c

考虑n为正整数的情形：

cos(nθ）+ i sin(nθ）

= (c+ i s)^n

= C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n-4）*(i s)^4 + …

+C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + …

=>；比较两边的实部与虚部

实部：cos(nθ）=C(n,0)*c^n + C(n,2）*c^(n-2）*(i s)^2 + C(n,4）*c^(n-4）*(i s)^4 + …

i*（虚部）：i*sin(nθ）=C(n,1）*c^(n-1）*(i s)^1 + C(n,3）*c^(n-3）*(i s)^3 + C(n,5）*c^(n-5）*(i s)^5 + …

对所有的自然数n，

⒈cos(nθ）：

公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2（平方关系），因此全部都可以改成以c（也就是cosθ）表示。

⒉sin(nθ）：

⑴当n是奇数时：

公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此全部都可以改成以s（也就是sinθ）表示。

⑵当n是偶数时：

公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2（平方关系），因此即使再怎么换成s，都至少会剩c（也就是 cosθ）的一次方无法消掉。

（例. c^3=c*c^2=c*（1-s^2），c^5=c*(c^2）^2=c*（1-s^2）^2）

特殊公式

（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）

证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[（θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[（θ+a)/2] sin[(a-θ）

=sin（a+θ）*sin（a-θ）

数学公式

A-F

▪ 半角公式 ▪ 倍角公式 ▪ 蔡勒公式 ▪ 差立方

▪ 差平方 ▪ 乘法公式 ▪ 导数公式 ▪ 到角公式

▪ 德摩根公式 ▪ 定比分点公式 ▪ 二倍角公式 ▪ 二阶微分方程

以上公式按中文名拼音首字母顺序排列

G-L

▪ 高斯公式 ▪ 格林第二公式 ▪ 格林第一公式 ▪ 格林公式

▪ 海伦公式 ▪ 和差化积 ▪ 和差平方 ▪ 和立方

▪ 和平方 ▪ 弧长公式 ▪ 弧长计算公式 ▪ 换底公式

▪ 夹角公式 ▪ 角平分线长公式 ▪ 柯西-阿达马公式 ▪ 柯西积分公式

▪ 拉普拉斯展开 ▪ 立方和差 ▪ 两点间距离公式 ▪ 两角和公式

以上公式按中文名拼音首字母顺序排列

M-R

▪ 默比乌斯反演公式 ▪ 牛顿-寇次公式 ▪ 欧拉-笛卡尔公式 ▪ 欧拉公式

▪ 抛物线标准方程 ▪ 平方差公式 ▪ 平移公式 ▪ 婆罗摩笈多公式

▪ 球的表面积公式 ▪ 全概率公式 ▪ 全期望公式 ▪ 全微分方程

以上公式按中文名拼音首字母顺序排列

S-Z

▪ 塞尔伯格迹公式 ▪ 三倍角公式 ▪ 三角不等式 ▪ 三角函数差角公式

▪ 三角函数公式 ▪ 三角函数和角公式 ▪ 三角函数周期公式 ▪ 扇形面积公式

▪ 扇形面积公式 ▪ 斯科伦范式 ▪ 斯特灵公式 ▪ 斯托克斯公式

▪ 素数公式 ▪ 泰勒公式 ▪ 通项公式 ▪ 外尔特征标公式

▪ 完全平方公式 ▪ 斜棱柱侧面积公式 ▪ 斜棱柱体积 ▪ 斜率公式

▪ 一阶微分方程 ▪ 诱导公式 ▪ 圆的标准方程 ▪ 圆的一般方程

▪ 圆台侧面积公式 ▪ 圆柱侧面积公式 ▪ 圆锥侧面积公式 ▪ 圆锥体体积公式

▪ 正棱台侧面积公式 ▪ 正棱锥侧面积公式 ▪ 直棱柱侧面积公式 ▪ 重心坐标公式

▪ 柱体体积公式 ▪ 锥体体积公式

参考资料

1.倍角公式·天气加

2.三角函数倍角公式·优文网

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