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2023届福建省高三试卷4月联考(23-428C)数学试卷答案

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15．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$，且经过点M（1，$\frac{3}{2}$）．求椭圆C的方程．

分析确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较，数形结合可知共有三个交点．由条件圆上到直线3x+4y+c=0距离为1的点有4个，只需圆心到直线的距离圆心到直线的距离小于半径和1的差即可．

解答解：（x-3）²+（y-3）²=9是一个以（3，3）为圆心，3为半径的圆．
圆心到3x+4y-11=0的距离为d=$\frac{|3×3+4×3-11|}{5}$=2，
所以作与直线3x+4y-11=0距离为1的直线，会发现这样的直线有两条（一条在直线的上方，一条在直线的下方），上面的那条直线与圆有两个交点，下面的与圆有一个交点，所以圆上共有三个点与直线距离为1．
圆心到3x+4y+c=0的距离为d=$\frac{|21+c|}{5}$，
要使圆上到直线3x+4y+c=0距离为1的点有4个，应有$\frac{|21+c|}{5}$＜3-1，
即-31＜c＜-11．

点评本题考查了直线与圆的位置关系，用到点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

2023届福建省高三试卷4月联考(23-428C)数学