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名校大联考·2023届普通高中名校联考信息卷(压轴三)数学试卷答案

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19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，且满足${a_{n+1}}={S_n}+{2^{n+1}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列$\{\frac{S_n}{2^n}\}$为等差数列；
（Ⅱ）求S₁+S₂+…+S_n．

分析由条件利用两个向量的数量积的定义即可求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，从而可得到（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²．

解答解：由|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=4，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为150°，
得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|•cos150°=3×4×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$-6\sqrt{3}$，
则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=${3}^{2}+2×（-6\sqrt{3}）+{4}^{2}$=25-$12\sqrt{3}$．
故答案为：$25-12\sqrt{3}$．

点评本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于中档题．

名校大联考·2023届普通高中名校联考信息卷(压轴三)数学