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河北省2022-2023学年第二学期高一年级期中考试(23554A)数学试卷答案

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10．函数f（x）的图象是由函数g（x）=sinxcosx的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的$\frac{1}{2}$，再整体向右平移$\frac{π}{12}$个单位得到的．
（1）写出函数f（x）的解析式，并求它的最小正周期；
（2）求函数f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上最大值与最小值，及相应的x值．

分析（Ⅰ）由条件利用绝对值的意义求得函数f（x）＜10a的解集不是空集时，a的范围．
（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得a+$\frac{4}{{a}^{2}}$的最小值

解答解：（Ⅰ）函数f（x）=|x-10|+|x-20|表示数轴上的x对应点到10、20对应点的距离之和，
它的最小值为10，由f（x）＜10a（a∈R）的解集不是空集，可得10a＞10，a＞1．
（Ⅱ）当a＞1时，$a+\frac{4}{a^2}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{4}{a^2}$，
又$\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{4}{a^2}≥3\root{3}{{\frac{a}{2}•\frac{a}{2}•\frac{4}{a^2}}}=3$，当且仅当$\frac{a}{2}=\frac{4}{a^2}$，即a=2时等号成立，
所以$a+\frac{4}{a^2}$的最小值为3．

点评本题主要考查绝对值的意义，基本不等式的应用，属于基础题．

河北省2022-2023学年第二学期高一年级期中考试(23554A)数学