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2023年全国高考猜题信息卷(二)数学试卷答案

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5．已知函数f（x）=x²+x，正项数列{a_n}前n项和为S_n，且点（a_n，2S_n）（n∈N^*）在f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿa_n（n∈N^*），求{b_n}的前n项和．

分析由$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，得sinB=-$\frac{2\sqrt{3}cosA}{\sqrt{7}}$，由正弦定理得得sinA=-$\sqrt{3}cosA$，再由同角三角函数关系式得到cosA=-$\frac{1}{2}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，从而sinB=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，cosB=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，从而求出sinC，由此利用△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$，能求出结果．

解答解：∵△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，
$\overrightarrow{m}$=$（{a，\sqrt{3}b}）$，$\overrightarrow{n}$=（sinB，cosA），$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，b=2，$a=\sqrt{7}$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$asinB+\sqrt{3}bcosA$=$\sqrt{7}sinB+2\sqrt{3}cosA$=0，
∴sinB=-$\frac{2\sqrt{3}cosA}{\sqrt{7}}$，
由正弦定理得$\frac{\sqrt{7}}{sinA}=\frac{2}{-\frac{2\sqrt{3}cosA}{\sqrt{7}}}$，整理，得sinA=-$\sqrt{3}cosA$，
∴sin²A+cos²A=4cos²A=1，
∵0＜A＜π，∴cosA=-$\frac{1}{2}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A=$\frac{2π}{3}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，cosB=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}）^{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
∴sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{\sqrt{7}}-\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{7}×2×\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量垂直、正弦定理、同角三角函数关系式等知识点的合理运用．

2023年全国高考猜题信息卷(二)数学