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陕西省2023年普通高等学校招生全国统一考试（正方形套黑菱形）数学试卷答案

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5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞D）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求a、b的值；
（2）C上是否存在点P，使得当l绕P转到某一位置时，有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

分析（1）直线y=$\frac{1}{2}$x-b代入双曲线的方程，运用韦达定理，再由弦长公式，可得直线的斜率，即可得到所求直线方程；
（2）设以定点M（2，1）为中点的弦为CD，讨论斜率不存在和存在，设出直线方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，解得斜率，注意检验判别式是否大于0，即可得到所求直线方程；
（3）假设存在这样的直线EF，运用联立方程，由韦达定理和中点坐标公式，可得斜率，检验判别式是否大于0；再由图象，观察直线绕着定点（1，1）旋转，所得的弦的中点是不是（1，1），即可判断．

解答解：（1）直线y=$\frac{1}{2}$x-b代入双曲线的方程，可得
3x²+4bx-4b²-4=0，
即有△=16b²+12（4b²+4）＞0恒成立，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-$\frac{4b}{3}$，x₁x₂=-$\frac{4{b}^{2}+4}{3}$，
则|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{（-\frac{4b}{3}）^{2}+\frac{16（{b}^{2}+1）}{3}}$=$\frac{2\sqrt{35}}{3}$，
解方程可得b=±1，
即有直线方程为y=$\frac{1}{2}$x-1或y=$\frac{1}{2}$x+1；
（2）设以定点M（2，1）为中点的弦为CD，
若直线的斜率不存在，设为x=2，代入双曲线的方程，显然无解；
可设直线CD的方程为y=k（x-2）+1，代入双曲线的方程可得，
（1-k²）x²-2k（1-2k）x-（1-2k）²-1=0，
△=4k²（1-2k）²+4（1-k²）[（1-2k）²-1]＞0，
x₁+x₂=$\frac{2k（1-2k）}{1-{k}^{2}}$，
由M为CD的中点，可得$\frac{2k（1-2k）}{1-{k}^{2}}$=4，
解得k=2，代入判别式，可得△＞0成立，
则所在直线方程为y=2x-3；
（3）假设存在以定点N（1，1）为中点弦EF，
若x=1，显然不成立；
可设直线CD的方程为y=k（x-1）+1，代入双曲线的方程可得，
（1-k²）x²-2k（1-k）x-（1-k）²-1=0，
△=4k²（1-k）²+4（1-k²）[（1-k）²-1]＞0，
x₁+x₂=$\frac{2k（1-k）}{1-{k}^{2}}$，
由M为CD的中点，可得$\frac{2k（1-k）}{1-{k}^{2}}$=2，
解得k=1，代入判别式，可得△＞0不成立，
通过图象观察，由于直线恒过定点（1，1），
将直线绕着定点（1，1）旋转，发现不存在以（1，1）为中点的弦．
故不存在这样的直线．

点评本题考查直线和双曲线的位置关系，考查直线方程和双曲线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查存在性问题的解法，属于中档题．

陕西省2023年普通高等学校招生全国统一考试（正方形套黑菱形）数学