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河北省2022-2023学年第二学期高二年级期中考试(23554B)数学试卷答案
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15.在△ABC中,已知∠A:∠B=1:2,角C的平分线CD把三角形面积分为4:3两部分,则cosA=( )
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{4}{5}$ |
分析(1)由平面向量数量积的运算化简已知可得cosA=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,结合A的范围即可得解.
(2)由(1)可得sinA,利用三角形面积公式可求bc=4,又b+c=5,由余弦定理即可解得a的值.
解答解:(1)∵$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=(-cosB)(-cosC)+sinC×(-sinB)=cos(B+C)=-cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴cosA=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∵A∈(0,π),
∴A=$\frac{5π}{6}$.
(2)∵由(1)可得A=$\frac{5π}{6}$,可求sinA=$\frac{1}{2}$,
∴△ABC的面积S=1=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×bc×\frac{1}{2}$,解得:bc=4.
∵b+c=5,
∴由余弦定理可得:a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{(b+c)^{2}-2bc+\sqrt{3}bc}$=$\sqrt{25-8+4\sqrt{3}}$=$\sqrt{17+4\sqrt{3}}$.
点评本题主要考查了平面向量数量积的运算,三角形面积公式,余弦定理的综合应用,考查了计算能力,属于中档题.
河北省2022-2023学年第二学期高二年级期中考试(23554B)数学