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同一卷·高考押题2023年普通高等学校招生全国统一考试(五)数学试卷答案

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14．已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l₁：x+2y+7=0相切，切点为P，过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，点M在x轴上方
（1）当|MN|=2$\sqrt{19}$时，求直线l的方程
（2）若△PBM的内切圆的圆心在x轴上，求以MN为直径的圆的方程．

分析当n=1时，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1=31能被31整除，假设n=k时，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1 能被31整除，则则n=k+1时，1+2¹+2²+2³+…+2^3（k+1）-1也能被31整除，综合可得结论．

解答证明：当n=1时，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1=1+2¹+2²+2³+2⁴=2⁵-1=31能被31整除，
假设n=k时，1+2¹+2²+2³+…+2^5n-1 能被31整除，
不妨令1+2¹+2²+2³+…+2^5k-1=31a，a∈Z，
则n=k+1时，
1+2¹+2²+2³+…+2^3（k+1）-1
=1+2¹+2²+2³+…+2^5k-1+2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4
=31a+2^5k+2^5k+1+2^5k+2+2^5k+3+2^5k+4
=31a+2^5k（1+2¹+2²+2³+2⁴）
=31a+31•2^5k也能被31整除，
综上所述n∈N，且n＞0时，1+2¹+2²+2³+…+2^3n-1 能被31整除．

点评本题考查的知识点是数学归纳法，熟练掌握数学归纳的证明步骤是解答的关键．

同一卷·高考押题2023年普通高等学校招生全国统一考试(五)数学