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玉田县2022-2023学年第二学期高一期中考试数学试卷答案

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17．若直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：
①M，N都在函数y=f（x）的图象上； ②M，N关于y轴对称．则称点对[M，N]为函数y=f（x）的一对“友好点对”．（注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”）已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|（x＞0）}\\{|{x}^{2}+4x|（x≤0）}\end{array}\right.$，则此函数的“友好点对”有3对．

分析设△MF₁F₂的内切圆的半径等于r，由圆的周长求得r的值，由椭圆的定义可得：|MF₁|+|MF₂|=2a，然后利用△MF₁F₂的面积相等列式求得a²．

解答解：设△MF₁F₂的内切圆的半径等于r，则由题意可得：2πr=3π，∴r=$\frac{3}{2}$．
由椭圆的定义可得：|MF₁|+|MF₂|=2a，
又c²=a²-b²=a²-16，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-16}$，
∵满足条件的点M恰好有2个，∴M是椭圆的短轴顶点，即|y_M|=4，
△MF₁F₂的面积等于$\frac{1}{2}$2c•|y_M|=4$\sqrt{{a}^{2}-16}$．
又△MF₁F₂的面积等于$\frac{1}{2}$（|MF₁|+|MF₂|+2c）r=（a+c）r=$\frac{3}{2}（a+\sqrt{{a}^{2}-16}）$．
由$\frac{3}{2}（a+\sqrt{{a}^{2}-16}）$=4$\sqrt{{a}^{2}-16}$．
解得：a²=25．
故答案为：25．

点评本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单性质的应用，利用等积法是解题的关键，是中档题．

玉田县2022-2023学年第二学期高一期中考试数学