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[晋一原创测评]山西省2023年初中学业水平考试模拟测评（二）数学试卷答案

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16．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx-2sin²$\frac{ωx}{2}$（ω＞0）的最小正周期为3π．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在$（{-\frac{π}{2}，π}）$的值域；
（3）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c，$\sqrt{3}$a=2csinA，若f（$\frac{3}{2}$A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{11}{13}$，求cosB的值．

分析（1）不等式等价于|x|+|x-2|≤2，再利用绝对值的意义求得x的范围．
（2）由条件利用基本不等式证得结论成立．

解答解：（1）函数f（x）=|x|，∴f（x-2）=|x-2|，不等式f（x-2）≤2-f（x），
等价于|x-2|≤2-|x|，即|x|+|x-2|≤2．
|x|+|x-2|表示数轴上的x对应点到0、2的距离之和，它的最小值为2，此时，0≤x≤2，
故不等式f（x-2）≤2-f（x）的解集为[0，2]．
（2）证明：$f（{\frac{1}{x}-1}）+f（{x+1}）=|{\frac{1}{x}-1}|+|{x+1}|≥|{\frac{1}{x}+x}|=\frac{1}{|x|}+|x|≥2\sqrt{|x|•|{\frac{1}{x}}|}=2$，即$f（{\frac{1}{x}-1}）+f（{x+1}）≥2$成立，
当且仅当x=±1时等号成立．

点评本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．

[晋一原创测评]山西省2023年初中学业水平考试模拟测评（二）数学