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2023届衡水金卷先享题压轴卷(三)新教材数学试卷答案

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12．若直线l₁：ax+2y+6=0与直线l₂：x+（a-1）y+（a²-1）=0平行而不重合，则a等于（　　）

A．

-1或2

B．

-1

C．

2

D．

$\frac{2}{3}$

分析（1）化简得f（x）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），得到周期和最小值，令2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}$+2kπ，解得x的取值集合；
（2）由f（α）=2及α的范围解出α．

解答解：（1）f（x）=cos²x-sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx+1=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，f（x）的最小值是-2，
令2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}$+2kπ，解得x=-$\frac{π}{3}$+kπ，
∴f（x）的取最小值时x的取值集合为{x|x=-$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z}．
（2）∵f（α）=2sin（2α+$\frac{π}{6}$）=2，
∴sin（2α+$\frac{π}{6}$）=1，
∴2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，即α=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
∵α∈[$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴α=$\frac{π}{6}$．

点评本题考查了三角函数的恒等变换和性质，是基础题．

2023届衡水金卷先享题压轴卷(三)新教材数学