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2023届衡水金卷先享题压轴卷(二)广东专版数学试卷答案

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6．已知函数f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）•cos（$\frac{π}{3}$-x），g（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{4}$．
（1）化简f（x）；
（2）求函数f（x）的最小正周期；
（3）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．

分析由函数零点存在性定理判断①；利用诱导公式化函数y=sinx为y=cos（x-$\frac{π}{2}$），然后利用左加右减的原则，确定平移的单位与方向判断②；举例说明③错误；利用奇函数的定义判断④；要求S_n取得最小正值时n的值，关键是要找出什么时候a_n小于或等于0，而a_n+1大于0，由$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，得到a₁₁＜0＜a₁₀，根据等差数列的性质，求出当S_n取得最小正值时n的值判断⑤；由正弦定理求解三角形判断⑥．

解答解：①f（1）=-1＜0，f（e）=e-1＞0，①正确；
②函数y=sinx化为y=cos（x-$\frac{π}{2}$），要得到此函数的图象，
只需将函数y=cos（x-$\frac{π}{3}$）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到y=cos（x-$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{3}$）=cos（x-$\frac{π}{2}$）=sinx，②错误；
③例如f（x）=x³，f′（x）=3x²，f′（0）=0，f（x）在R上是增函数，无极值，③错误；
④当a=1时，f（x）=$\frac{1-{e}^{x}}{1+{e}^{x}}$，f（-x）=$\frac{1-{e}^{-x}}{1+{e}^{-x}}=\frac{{e}^{x}（1-{e}^{-x}）}{{e}^{x}（1+{e}^{-x}）}=\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}=-f（x）$；
反之，若f（-x）=-f（x），则$\frac{a-{e}^{-x}}{1+a{e}^{-x}}=-$$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$，整理得，（a²-1）（e^x+e^-x）=0．
∴a²-1=0，即a=±1．即“a=1”是“函数f（x）=$\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，④正确；
⑤：∵S_n有最小值，∴d＜0，则a₁₀＞a₁₁，
又$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，∴a₁₁＜0＜a₁₀，a₁₀+a₁₁＜0，
则S₂₀=10（a₁+a₂₀）=10（a₁₀+a₁₁）＜0，S₁₉=19a₁₀＞0．
又a₁＞a₂＞…＞a₁₀＞0＞a₁₁＞a₁₂，∴S₁₀＞S₉＞…＞S₂＞S₁＞0，S₁₀＞S₁₁＞…＞S₁₉＞0＞S₂₀＞S₂₁．
又∵S₁₉-S₁=a₂+a₃+…+a₁₉=9（a₁₀+a₁₁）＜0，∴S₁₉为最小正值．⑤错误；
⑥由正弦定理：$\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$，∴sinC=$\frac{AB•sinB}{AC}=\frac{1•sin60°}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，
∵AB＜AC，∴C＜B=60°，故只有一解C=30°，⑥错误．
故答案为：①④．

点评本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数的性质，训练了函数零点的判定方法，考查了等差数列的性质，训练了利用正弦定理求解三角形，是中档题．

2023届衡水金卷先享题压轴卷(二)广东专版数学