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江西省2024届八年级《学业测评》分段训练（七）数学试卷答案

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12．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ+1=0，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{2}{\sqrt{5}}t}\\{y=\frac{1}{\sqrt{5}}t}\end{array}\right.$（t为参数）
（Ⅰ）若曲线C₁与C₂的交点为A，B，求|AB|；
（Ⅱ）已知点M（ρ，θ）在曲线C₁上，求ρ的取值范围．

分析由已知数列递推式求出a₂，再把数列递推式变形后可得数列{a_n+1}从第二项起，构成以1为首项，以$\frac{3}{2}$为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得答案．

解答解：由S_n=2a_n+1+n，①得
S_n+1=2a_n+2+n+1，②
②-①得a_n+1=2a_n+2-2a_n+1+1，
即${a}_{n+2}=\frac{3}{2}{a}_{n+1}+\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n+2}+1=\frac{3}{2}（{a}_{n+1}+1）$，
∵a₁=1，∴${a}_{2}=\frac{1}{2}（{a}_{1}-1）=0$，
则a₂+1=1≠0．
∴数列{a_n+1}从第二项起，构成以1为首项，以$\frac{3}{2}$为公比的等比数列．
则当n≥2时，${a}_{n}+1=\frac{1-（\frac{3}{2}）^{n-2}}{1-\frac{3}{2}}$=$2-（\frac{3}{2}）^{n-2}$，
即${a}_{n}=1-（\frac{3}{2}）^{n-2}$（n≥2）．
验证n=1上式不成立．
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{1（n=1）}\\{1-{{（\frac{3}{2}）}^{n-2}}（n≥2）}\end{array}}\right.$．

点评本题考查数列的递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．

江西省2024届八年级《学业测评》分段训练（七）数学