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2022-2023学年高三押题信息卷（三）数学试卷答案

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3．底面是正三角形且侧棱和底面垂直的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为3，底面边长为1，沿侧面从A点经过棱BB₁上的M点再经过棱CC₁上的N点到A₁点．当所经路径AM-MN-NA₁最短时，AM与A₁N所成的角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

分析根据题意，得出长方体内接于球，球的直径等于长方体的对角线长，由此求出球的半径与体积．

解答解：根据题意，长方体内接于球，
所以球的直径为该长方体的对角线；
即（2R）²=3²+${（\sqrt{11}）}^{2}$+4²=36，解得R=3；
所以这个球的体积为V_球=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4}{3}$×π×3³=36π．
故选：D．

点评本题考查了球的内接长方体以及球的体积的应用问题，也考查了空间想象能力，是基础题．

2022-2023学年高三押题信息卷（三）数学