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山西省2023届九年级山西中考模拟百校联考考试卷（四）数学试卷答案

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1．已知在三棱锥A-BCD中，AB=CD，且点M，N分别是BC，AD的中点．
（1）若直线AB与CD所成的角为60°，则直线AB和MN所成的角为60°．
（2）若直线AB⊥CD，则直线AB与MN所成的角为45．

分析求向各个点的坐标，结合$\overrightarrow{AP}$=（2-$\sqrt{2}$）$\overrightarrow{AQ}$，可得：（c-a）=（2-$\sqrt{2}$）（$\frac{a（c+a）}{a-b+c}$-a），进而化简得到双曲线的离心率．

解答解：∵F，A分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点，右顶点，
∴F点坐标为（c，0），A（a，0），
过F作x轴的垂线，在第一象限与双曲线交于点P，则P点坐标为（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
则AP所在直线方程为：$\frac{x-a}{c-a}=\frac{y}{\frac{{b}^{2}}{a}}$，即y=$\frac{c+a}{a}$（x-a），
联立双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x得：
Q点的横坐标为$\frac{a（c+a）}{a-b+c}$，
∵$\overrightarrow{AP}$=（2-$\sqrt{2}$）$\overrightarrow{AQ}$，
∴（c-a）=（2-$\sqrt{2}$）（$\frac{a（c+a）}{a-b+c}$-a）=（2-$\sqrt{2}$）$\frac{ab}{a-b+c}$，
∴b²-b（c-a）=（2-$\sqrt{2}$）ab，
∴a+b-c=（2-$\sqrt{2}$）a，
∴b=（1-$\sqrt{2}$）a+c，
∴b²=（3-2$\sqrt{2}$）a²+c²+（2-2$\sqrt{2}$）ac=c²-a²，
∴（4-2$\sqrt{2}$）a²+（2-2$\sqrt{2}$）ac=0，
∴（4-2$\sqrt{2}$）a+（2-2$\sqrt{2}$）c=0，
∴（4-2$\sqrt{2}$）a=（2$\sqrt{2}$-2）c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$

点评本题考查的知识点是双曲线的简单性质，向量的线性关系，难度中档．

山西省2023届九年级山西中考模拟百校联考考试卷（四）数学