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江苏省南通市2023届高三第三次调研测试数学试卷答案

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8．在△ABC中，若cosAcosB=-cos²$\frac{C}{2}$+1，则△ABC一定是（　　）

A．

等腰直角三角形

B．

直角三角形

C．

等腰三角形

D．

等边三角形

分析（1）由题意可得$\overrightarrow{OA}$=[2sin（2x-$\frac{π}{6}$）]$\overrightarrow{OB}$+（y-$\frac{3}{2}$）$\overrightarrow{OC}$，再根据A、B、C是直线l上的不同的三点，可得2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+y-$\frac{3}{2}$=1，即y=f（x）的解析式，从而求得f（x）的周期．
（2）根据x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最小值为$\frac{1}{2}$，可得$\frac{1}{2}$-2^m＞0，再解指数不等式，求得m的范围．

解答解：（1）由$\overrightarrow{OA}$-[2sin（2x-$\frac{π}{6}$）]$\overrightarrow{OB}$-（$\frac{3}{2}$-y）$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{OA}$=[2sin（2x-$\frac{π}{6}$）]$\overrightarrow{OB}$+（y-$\frac{3}{2}$）$\overrightarrow{OC}$，
再根据A、B、C是直线l上的不同的三点，可得2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+y-$\frac{3}{2}$=1，
即y=f（x）=$\frac{5}{2}$-2sin（2x-$\frac{π}{6}$），故f（x）的周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）对任意x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=$\frac{5}{2}$-2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．
再根据不等式f（x）-2^m＞0恒成立，可得$\frac{1}{2}$-2^m＞0，∴m＜-1．

点评本题主要考查三点共线的性质，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，指数不等式的解法，属于中档题．

江苏省南通市2023届高三第三次调研测试数学