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2023届重庆市南开中学校高三第九次质量检测（三诊）数学试卷答案

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1．正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=1，点E是B₁C₁的中点，则异面直线AC₁与BE所成角的大小为$\frac{π}{4}$．

分析（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得cos（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），利用余弦函数的图象和性质即可求得C的值．
（2）由余弦定理及已知即可解得b的值．

解答解：（1）∵2$\sqrt{3}$cos²$\frac{C}{2}$=sinC+$\sqrt{3}$+1．
⇒$\sqrt{3}$（1+cosC）=sinC+$\sqrt{3}+1$
⇒cos（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
∴C+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$，解得：C=$\frac{π}{6}$．
（2）∵C=$\frac{π}{6}$，a=2$\sqrt{3}$，c=2，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得：4=12+b²-6b，解得：b=2，或4．

点评本题主要考查了三角函数恒等变换、余弦定理的应用，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．

2023届重庆市南开中学校高三第九次质量检测（三诊）数学