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学科网2023年高三5月大联考(全国甲卷)数学试卷答案

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5．已知函数f（x）=x²+x，正项数列{a_n}前n项和为S_n，且点（a_n，2S_n）（n∈N^*）在f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿa_n（n∈N^*），求{b_n}的前n项和．

分析本选择题宜采用特殊值法．取a=-2，则f（x）=x²+4，g（x）=-x²-8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H₁（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H₂（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得．

解答解：取a=-2，则f（x）=x²+4，g（x）=-x²-8x+4．画出它们的图象，如图所示．

则H₁（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H₂（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+4}\\{y=-{x}^{2}-8x+4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=20}\end{array}\right.$，
∴A=4，B=20，B-A=16．
故答案为：16．

点评本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题．

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