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强基路985天机密卷 2023年普通高等学校统一招生模拟考试(新高考全国Ⅰ卷)数学试卷答案

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18．已知f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+{a}^{2}-2}{{2}^{x}+1}$．
（1）当a=1时，求f（x）的反函数；
（2）若f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围．

分析抛物线C₂：y²=4x的焦点F（1，0），准线x=-1．设M（x₀，y₀），由|MF|=$\frac{5}{3}$，利用抛物线的定义，解得x₀．由于椭圆C₁与抛物线C₂的交点P在第一象限内，可得y₀．可得M坐标，代入椭圆方程，又c=1，a²=b²+c²，联立解得即可得出a，b，进而得到a+b的值．

解答解：抛物线C₂：y²=4x的焦点F（1，0），准线x=-1．
设M（x₀，y₀），由|MF|=$\frac{5}{3}$，
∴x₀+1=$\frac{5}{3}$，解得x₀=$\frac{2}{3}$．
∵椭圆C₁与抛物线C₂的交点M在第一象限内，
∴y₀=$\sqrt{4×\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）．
代入椭圆方程可得$\frac{4}{9{a}^{2}}$+$\frac{8}{3{b}^{2}}$=1，又c=1，a²=b²+c²，
联立解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有a+b=2+$\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$，2+$\sqrt{3}$．

点评本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质，运用抛物线的定义和椭圆方程是解题的关键，属于中档题．

强基路985天机密卷 2023年普通高等学校统一招生模拟考试(新高考全国Ⅰ卷)数学