平方数数学专用术语

平方数是数学专用术语，表示两个相同数的乘积，也称正方形数。若n为平方数，n个点排成矩形，可以排成一个正方形。若将平方数概念扩展到有理数，则两个平方数的比仍然是平方数 。若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其因子，则称其为无平方数因数的数。

中文名

平方数

外文名

square numbers

拼音

pingfangshu

范畴

数学

性质

非完全数

定义

可以写成某个整数的平方的数

定义

数学上，平方数，或称完全平方数，是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如，9 = 3 × 3，它是一个平方数。平方数也称正方形数，若n为平方数，将n个点排成矩形，可以排成一个正方形。若将平方数概念扩展到有理数，则两个平方数的比仍然是平方数，例如， (2 × 2) / (3 × 3) = 4/9 = 2/3 × 2/3。若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其因子，则称其为无平方数因数的数。

举例

最小的51个平方数为（OEIS中的数列A000290）：

构成平方数的星形六角数

0^2 = 0

1^2 = 1 2^2 = 4 3^2 = 9 4^2 = 16 5^2 = 25 6^2 = 36 7^2 = 49 8^2 = 64 9^2 = 81 10^2 = 100

11^2 = 121 12^2 = 144 13^2 = 169 14^2 = 196 15^2 = 225 16^2 = 256 17^2 = 289 18^2 = 324 19^2 = 361 20^2 = 400

21^2 = 441 22^2 = 484 23^2 = 529 24^2 = 576 25^2 = 625 26^2 = 676 27^2 = 729 28^2 = 784 29^2 = 841 30^2 = 900

31^2 = 961 32^2 = 1024 33^2 = 1089 34^2 = 1156 35^2 = 1225 36^2 = 1296 37^2 = 1369 38^2 = 1444 39^2 = 1521 40^2 = 1600

41^2 = 1681 42^2 = 1764 43^2 = 1849 44^2 = 1936 45^2 = 2025 46^2 = 2116 47^2 = 2209 48^2 = 2304 49^2 = 2401 50^2 = 2500

性质

1. 一个平方数是两个相邻三角形数之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形数。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。[2]

 2. 四平方和定理说明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的，三个平方数之和不能表示形如 4k(8m + 7) 的数。若一个正整数可以表示因子中没有形如 4k + 3 的素数的奇次方，则它可以表示成两个平方数之和。

3. 平方数必定不是完全数。

表达式

方阵

著名数学家毕达哥拉斯发现有趣奇数现象：将连续奇数相加，每次的得数正好就产生完全平方数。 如：1 + 3(=2^2) + 5(=3^2) + 7(=4^2) + 9(=5^2) + 11(=6^2) + 13(=7^2)….在奇数和平方数之间有着密切的重要联系。一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形的点阵，使得每行每列的点都一样多。

平方数

通项公式

对于一个整数n，它的 平方写成n2。n2等于头n个正 奇数的和（）。在上图中，从1开始，第n个平方数表示为前一个平方数加上第n个正奇数，如 5^2 = 25 = = 16 + 9。即第五个平方数25等于第四个平方数16加上第五个正奇数：9。

递归公式

每个平方数可以从之前的两个平方数计算得到，递推公式为 n^2 = 2(n − 1)^2 − (n − 2)^2 + 2。例如，2×5^2 − 4^2 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62。

连续整数的和

平方数还可以表示成n^2 = 1 + 1 + 2 + 2 + … + n − 1 + n − 1 + n。例如，4^2 = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以将其解释为在边长为 3 的矩形上添加宽度为 1 的一行和一列，即得到边长为 4 的矩形。这对于计算较大的数的平方数非常有用。例如， 52^2 = 50^2 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

参考资料

1.正方形面积的周记·北岛文章网

2. 平方数详细资料大全·历史新知

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