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学科网2023年高考考前最后一卷(新教材)数学试卷答案

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14．已知函数$f（x）=cos（\frac{π}{2}-x）cosx+\sqrt{3}{sin^2}x$
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）求$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$时函数f（x）的最大值和最小值．

分析（1）把抛物线方程整理成标准方程，进而可得焦点的坐标．
（2）设P（x₀，y₀）则y₀=$\frac{1}{4}$x₀²，根据y′=$\frac{1}{2}$x，判断在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=$\frac{1}{2}$x₀，进而可得切线方程和焦点F到切线L的距离，最后判断当且仅当x₀=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）．

解答解：（1）抛物线方程为x²=4y，故焦点F的坐标为（0，1）．
（2）设P（x₀，y₀）则y₀=$\frac{1}{4}$x₀²，
对x²=4y进行求导得
y′=$\frac{1}{2}$x，
∴在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=$\frac{1}{2}$x₀
∴切线L的方程是：y-y₀=k（x-x₀），即$\frac{1}{2}$x₀x-y-$\frac{1}{4}$x₀²=0
∴焦点F到切线L的距离d=$\frac{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}{\sqrt{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}{x}_{0}^{2}+1}$≥1，
当且仅当x₀=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）
∴当P在（0，0）处时，焦点F到切线L的距离最小

点评本题主要考查了抛物线的应用及抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．

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