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2023年广东省普通高中综合能力测试（5月）数学试卷答案

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1．已知方程sinθ•x²+cosθ•x-1=0有两个实数根m，n，那么过点M（m，m²）和N（n，n²）（m≠±n）的直线与圆O：x²+y²=1的位置关系是（　　）

A．

相交

B．

相切

C．

相离

D．

随θ的变化而变化

分析利用新定义化简不等式可得到a²-a-1＞x²-x成立即可，只需a²-a-1＞x²-x的最小值即可，由二次函数求最值可得a的不等式，解不等式可得．

解答解：由已知（x-a）?（x+a）＞1成立，
∴（x-a）（1-x-a）＞1成立，
即a²-a-1＞x²-x成立．
令t=x²-x，只要a²-a-1＞t_min．
t=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，当x∈R，t≥-$\frac{1}{4}$．
∴a²-a-1＞-$\frac{1}{4}$，即4a²-4a-3＞0，
解得：a＞$\frac{3}{2}$或a＜-$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评本题考查新定义，涉及一元二次不等式的解集和恒成立问题，属基础题．

2023年广东省普通高中综合能力测试（5月）数学